Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)（），．
(Ⅰ)令，討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱(chēng)直線為函數(shù)與的“分界線”．設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)在上是單調(diào)遞減；在上是單調(diào)遞增.
（2）（3）．

解析試題分析：(I)直接求導(dǎo)，利用得到F(x)的單調(diào)增（減）區(qū)間；
（II）不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，等價(jià)于恰有三個(gè)整數(shù)解，故，令,因?yàn)閔(x)的一個(gè)零點(diǎn)區(qū)間為(0,1),
所以得到另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間,故,問(wèn)題到此得解.
(III)由（I）知可知F(x)的最小值為0,則f(x)與g(x)的圖像在處有公共點(diǎn).
如果f(x)與g(x)存在分界線，因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0e/b/z6cqe.png" style="vertical-align:middle;" />即，所以由題意可轉(zhuǎn)化為在恒成立問(wèn)題解決.
（Ⅰ）由得：
················· 1分
①當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上是單調(diào)遞增；····· 3分
②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，
故函數(shù)在上是單調(diào)遞減；在上是單調(diào)遞增. ···· 5分
（Ⅱ）解法一:不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，
等價(jià)于恰有三個(gè)整數(shù)解，故，
令，由且，
所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間，
則另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間，故  解之得．··· 9分

下面證明恒成立．
設(shè)，則．
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此時(shí)取得最大值，則成立．
故所求“分界線”方程為：．　　　　　　…………14分
考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，函數(shù)的零點(diǎn)，不等式恒成立問(wèn)題，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，推理與論證能力.
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性難度大，第（II）問(wèn)的關(guān)鍵是構(gòu)造之后，判定一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(0,1),另一個(gè)零點(diǎn),從而問(wèn)題得解.
第（III）問(wèn)關(guān)鍵是理解f(x)與g(x)存在分界線，因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0e/b/z6cqe.png" style="vertical-align:middle;" />即，題目可轉(zhuǎn)化為在恒成立問(wèn)題解決.