Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，那么數(shù)列{a_n}的通項公式是（　�。�

• A． a_n=2ⁿ
• B． a_n=（n+1）•2ⁿ
• C． a_n=（n-1）•2ⁿ
• D． a_n=3n-1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹變形可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，分析可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=2為首項，公差為1的等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1，進(jìn)而計算可得數(shù)列{a_n}的通項公式，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，由于a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，則有$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=2為首項，公差為1的等差數(shù)列，
則$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1，
故a_n=（n+1）•2ⁿ；
故選：B．

點評 本題考查數(shù)列通項公式的求法，關(guān)鍵是將原關(guān)系式進(jìn)行恒等變形，轉(zhuǎn)化為與等差數(shù)列相關(guān)的關(guān)系式．