Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：1•a₁+2•a₂+3•a₃+…n•a_n=n
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=

2n

an

，求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知，當(dāng)n≥2時(shí)，na_n=

n

i=1

i•ai-

n-1

i

i•ai=1，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由bn=n•2n，知Sn=1•21+2•22+3•23…+n•2n，由此利用錯(cuò)位相減法能夠求出{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：1•a₁+2•a₂+3•a₃+…n•a_n=n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，na_n=

n

i=1

i•ai-

n-1

i

i•ai=1，
∴an=

1

n

，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1成立，
∴an=

1

n

．
（2）∵bn=n•2n，
∴Sn=1•21+2•22+3•23…+n•2n①
2Sn=1•22+2•23+3•24…+(n-1)•2n+n•2n+1②
由①-②得，-Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．