Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

Answer 1

解：設(shè)直線l的方程為y=x-a，
將y=x-a代入y²=2px，
得x²-2（a+p）x+a²=0，
設(shè)直線l與拋物線兩個(gè)不同的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
∵y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴|AB|=
=
=，
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，
∴0＜≤2p，
解得-．
分析：設(shè)直線l的方程為y=x-a，將y=x-a代入y²=2px，得x²-2（a+p）x+a²=0，設(shè)直線l與拋物線兩個(gè)不同的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），導(dǎo)出|AB|==，由|AB|≤2p．能求出a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意韋達(dá)定理、弦長公式、不等式等知識(shí)的靈活運(yùn)用．