Question

已知|a|＞1，若f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax≥-4a²在x∈[0，2|a|]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造新的函數(shù)g（x），則g（x）≥0在x∈[0，2|a|]上恒成立，只要滿足g（x）_min≥0，對(duì)a分a＞1和a＜-1進(jìn)行討論，分別求出g（x）的最小值，求出a的取值范圍．

解答： 解：由2x³-3（a+1）x²+6ax≥-4a²，即，2x³-3（a+1）x²+6ax+4a²≥0，
令g（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+4a²，g′（x）=6（x-1）（x-a），∵|a|＞1，
∴①當(dāng)a＞1時(shí)，在g（x）在（0，1）和（a，2a）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減，
∴

g(0)=4a2≥0 g(a)=2a3-3(a+1)a2+6a2+4a2≥0

解得：1＜a≤7
②當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2|a|]上單調(diào)遞增，∴f（x）在[0，2|a|]上最小值為g（1），
∴g（1）=2-3（a+1）+6a+4a²≥0，解得a＜-1或a＞

1

4

，即a＜-1；
綜合①②得a的取值范圍為（1，7]∪（-∞，-1）．
故答案為：（1，7]∪（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題目是一道導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題，運(yùn)用分類討論思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．