Question

數(shù)列a_n中，a₁=t，a₂=t²，其中t≠0且t≠1，x=

t

是函數(shù)f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值點．
（1）證明：數(shù)列a_n+1-a_n是等比數(shù)列；
（2）求a_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)在x=

t

的導數(shù)等于零尋找a_n+1，a_n，a_n-1之間的關(guān)系，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義進行證明；（2）在（1）的基礎(chǔ)上求出數(shù)列a_n+1-a_n的通項公式，按照迭加的方法即可求出a_n．

解答：（1）證明：∵f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1∴f'（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]，
根據(jù)已知f′(

t

)=0，即ta_n-1-（t+1）a_n+a_n+1=0，即a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1），當t≠1時，數(shù)列a_n+1-a_n是等比數(shù)列．（6分）
（2）解：由于a₂-a₁=t²-t=t（t-1），所以a_n+1-a_n=（t-1）tⁿ．
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₂-a₁）+a₁=（t-1）t^n-1+（t-1）t^n-1++（t-1）t+t=(t-1)×

t(1-tn-1)

1-t

+t=tn．
所以數(shù)列a_n的通項公式a_n=tⁿ．（12分）

點評：本題考查簡單的遞推數(shù)列．高考對遞推數(shù)列的考查難度在不斷地下降，如果考查簡單的遞推數(shù)列，往往有一個試題的入口，如本題中先證明數(shù)列a_n+1-a_n是等比數(shù)列，然后在這個基礎(chǔ)上求解遞推數(shù)列的通項公式．本題是個中檔題．