已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若方程f（x）=0有三個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：（1）∵f（x）=-x3+3x2+9x+a，
∴f′（x）=-3x2+6x+9．　　　　　　
令f'（x）＞0，解得-1＜x＜3．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，3）．
令f'（x）＜0，解得x＜-1或x＞3．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞），
∴f（x）極小值=f（-1）=a-5，f（x）極大值=f（3）=a+27；
（2）由（1）知若方程f（x）=0，有三個(gè)不等的實(shí)根，
則
解得-27＜a＜5．
所以a 的取值范圍是（-27，5）
分析：（1）由f（x）=-x3+3x2+9x+a，求得f′（x）=-3x2+6x+9，通過(guò)對(duì)f'（x）＞0與f'（x）＜0的分析，可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若方程f（x）=0，有三個(gè)不等的實(shí)根，則其極小值應(yīng)小于0，極大值應(yīng)大于0，解二者聯(lián)立的不等式組即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，著重考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性間的關(guān)系及應(yīng)用，突出考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想的運(yùn)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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