Question

在（2+

4

3

）¹⁰⁰展開式中，求共有多少個(gè)有理數(shù)的項(xiàng)？

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可得(

3

x+

3	2

)100的二項(xiàng)展開式，若x的系數(shù)為有理數(shù)，即（

3

）^100-r•（

3	2

）^r為有理數(shù)，則100-r為2的倍數(shù)，r為3的倍數(shù)，設(shè)r=3n，則100-3n為2的整數(shù)倍，分析可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，（2+

4	3

）¹⁰⁰的二項(xiàng)展開式為T_r+1=C₁₀₀^r•2^100-r•（

4	3

）^r=C₁₀₀^r•2^100-r•3

r

4

，r=0，1，2，3，…100
若展開式為有理數(shù)，即3

r

4

為有理數(shù)，
則r為4的倍數(shù)，r=0，4，8，12，…100．
100=0+（n-1）×4，
可得n=26，有26個(gè)符合條件，
共有26個(gè)有理數(shù)的項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意整數(shù)的整除的有關(guān)性質(zhì)，仔細(xì)進(jìn)行分析．