Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x²-2mx+m+2）
（1）若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若f（x）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使函數(shù)f（x）=lg（x²-2mx+m+2）的定義域?yàn)镽，可轉(zhuǎn)化成mx²+mx+1＞0在R上恒成立，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，建立關(guān)系式，解之即可求出所求．
（2）f（x）的值域?yàn)镽，對(duì)數(shù)的真數(shù)取遍所有正實(shí)數(shù)，轉(zhuǎn)化為真數(shù)看作二次函數(shù)與x軸有交點(diǎn)，解答即可．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=lg（x²-2mx+m+2）的定義域?yàn)镽，
∴x²-2mx+m+2＞0在R上恒成立，
△=4m²-4（m+2）＜0，即m²-m-2＜0，解得-1＜m＜2
實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1，2）．
（2）因?yàn)閒（x）的值域?yàn)镽，
所以真數(shù)取遍所有正實(shí)數(shù)，
即對(duì)于g（x）=x²-2mx+m+2
△≥0
∴4m²-4（m+2）≥0
解得 m≤-1或m≥2，．
若f（x）的值域?yàn)镽，實(shí)數(shù)m的取值范圍：（-∞，-1]∪[2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，值域，同時(shí)考查了恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．