已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意實數(shù)x，y恒有等式f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當x＞0時，f（x）＞0．給出如下結論：
①f（0）=0；
②f（x）是R上的增函數(shù)
③f（x）在R上不具有單調性；
④f（x）是奇函數(shù)．
其中正確結論的序號是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②④
D．①③④
【答案】分析：根據(jù)性質f（x+y）=f（x）+f（y）成立與當x＞0時，f（x）＞0，代入特值0驗證①；
根據(jù)函數(shù)的單調性定義，構造x1＜x2，證明f（x2）-f（x1）與0的大小驗證②③；
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義構造f（-x）驗證是否=-f（x）驗證④．
解答：解：令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，∴①√；
∵f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）=0⇒f（-x）=-f（x），令x1＜x2，f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴②√；
由②正確，∴③×；
∵x∈R，f（-x）=-f（x），∴④√；
故答案是①②④
點評：本題考查抽象函數(shù)的性質，要注意抽象函數(shù)的性質證明要緊扣定義．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列說法正確的有（　�。﹤�．
①已知函數(shù)f（x）在（a，b）內可導，若f（x）在（a，b）內單調遞增，則對任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函數(shù)f（x）圖象在點P處的切線存在，則函數(shù)f（x）在點P處的導數(shù)存在；反之若函數(shù)f（x）在點P處的導數(shù)存在，則函數(shù)f（x）圖象在點P處的切線存在．
③因為3＞2，所以3+i＞2+i，其中i為虛數(shù)單位．
④定積分定義可以分為：分割、近似代替、求和、取極限四步，對求和In=
n
i=1
f(ξi)△x中ξi的選取是任意的，且In僅于n有關．
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根，則實數(shù)p，q的值分別是12，26．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A，B，若m變化時，AB的長度是一個定值，則AB的值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x3-x，其圖象記為曲線C．
（i）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（ii）證明：若對于任意非零實數(shù)x1，曲線C與其在點P1（x1，f（x1））處的切線交于另一點P2（x2，f（x2）），曲線C與其在點P2（x2，f（x2））處的切線交于另一點P3（x3，f（x3）），線段P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1，S2．則
S1S2
為定值；
（Ⅱ）對于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax+b存在極值點．
（1）求a的取值范圍；
（2）過曲線y=f（x）外的點P（1，0）作曲線y=f（x）的切線，所作切線恰有兩條，切點分別為A、B．
（�。┳C明：a=b；
（ⅱ）請問△PAB的面積是否為定值？若是，求此定值；若不是求出面積的取值范圍．

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同步練習冊答案