Question

給出一個不等式（x∈R）．
經驗證：當c=1，2，3時，對于x取一切實數(shù)，不等式都成立．
試問：當c取任何正數(shù)時，不等式對任何實數(shù)x是否都成立？若能成立，請給出證明；若不成立，請求出c的取值范圍，使不等式對任何實數(shù)x都能成立．

Answer 1

解：令f（x）=，設u=（u≥），則f（x）=（u≥）．
∴f（x）=．
要使不等式成立，即f（x）-≥0．
∵u≥＞0，∴只須u-1≥0，
∴u²c≥1，即 u²≥，∴x²+c≥，∴x²≥-c．
故當＞c 時，即 0＜c＜1原不等式不是對一切實數(shù)x都成立，即原不等式對一切實數(shù)x不都成立．
要使原不等式對一切實數(shù)x都成立，即使x²≥-c對一切實數(shù)都成立．
∵x²≥0，故應有 -c≤0．
再由c＞0 可得，當c≥1時，原不等式對一切實數(shù)x都能成立．
分析：令f（x）=，設u=（u≥），則f（x）=（u≥）．用分析法可得要使f（x）-≥0，只需要x²≥-c． 故當＞c 時，原不等式不是對一切實數(shù)x都成立，當 -c≤0時，原不等式對一切實數(shù)x都能成立．
點評：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．