Question

【題目】對于函數(shù)f1（x），f2（x），h（x），如果存在實數(shù)a，b使得h（x）=af1（x）+bf2（x），那么稱h（x）為f1（x），f2（x）的生成函數(shù)．
（1）給出函數(shù) ，h（x）是否為f1（x）， f2（x）的生成函數(shù)？并說明理由；
（2）設(shè) ，生成函數(shù)h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）設(shè) ，取a＞0，b＞0，生成函數(shù)h（x）圖象的最低點坐標為（2，8）．若對于任意正實數(shù)x1 ， x2且x1+x2=1．試問是否存在最大的常數(shù)m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出這個m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù) ，

若h（x）是af1（x）+bf2（x）的生成函數(shù)，

則有：lgx= ，

由： ，解得： ，存在實數(shù)a，b滿足題意．

∴h（x）是f1（x），f2（x）的生成函數(shù)．

（2）解：由題意， ，生成函數(shù)h（x）．

則h（x）=2f1（x）+f2（x）=

∴h（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)．

若3h2（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，

即 ．

設(shè)S=log2x，則S∈[1，2]，

那么有：y=﹣3S2﹣2S，

其對稱軸S= ．

∴﹣16≤y≤﹣5，

故得t＞﹣5．

（3）解：由題意，得h（x）=af1（x）+bf2（x）=ax ，

則h（x）=ax ≥2

∴ ，解得：a=2，b=8．

∴h（x）=2x+ ，（x＞0）

假設(shè)最大的常數(shù)m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立，

令u=h（x1）h（x2）= =

∵x1+x2=1，

∴u= ，

令t=x1x2，則t=x1x2≤ ，即 ，

那么：u=4t ，在 上是單調(diào)遞減，

∴u≥u（ ）=289．

故最大的常數(shù)m=289．

【解析】（1）根據(jù)新定義h（x）=af1（x）+bf2（x，判斷即可．（2）根據(jù)新定義生成函數(shù)h（x），化簡，討論其單調(diào)性，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解最值，解決恒成立的問題．（3）根據(jù)新定義生成函數(shù)h（x），利用基本不等式與生成函數(shù)h（x）圖象的最低點坐標為（2，8）．求解出ab．假設(shè)最大的常數(shù)m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立，帶入化簡，利用換元法與基本不等式判斷其最大值是否存在即可求解．