Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（1+x）+f（1-x）=2，且直線y=k（x-1）+1與f（x）的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，則這些交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為

1. A.
   10
2. B.
   5
3. C.
   4
4. D.
   3

Answer 1

B
分析：由題意可得函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，1）中心對(duì)稱，這5個(gè)交點(diǎn)在直線直線y=k（x-1）+1上，點(diǎn)（1，1）必是交點(diǎn)之一．設(shè)5個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為 y₁，y₂，y₃，y₄，y₅，其中有 y₃=1，可知y₁與y₅、y₂與y₄ 均關(guān)于直線y=1對(duì)稱，由此求得這些交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和．
解答：解：對(duì)于任何函數(shù)y=f（x）：若滿足f（x+a）+f（b-x）=c，則此函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（，）對(duì)稱．
∴函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，1）中心對(duì)稱．
∵直線y=k（x-1）+1與f（x）的圖象5有個(gè)交點(diǎn)，且對(duì)稱點(diǎn)是成對(duì)的，∴點(diǎn)（1，1）必是交點(diǎn)之一．
由題意可知這5個(gè)交點(diǎn)在直線直線y=k（x-1）+1上．
設(shè)5個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為 y₁，y₂，y₃，y₄，y₅，其中有 y₃=1． 可知y₁與y₅、y₂與y₄ 均關(guān)于y=1對(duì)稱．
y₅=1-（ y₁-1）；y₄=1-（ y₂-1），
∴y₁+y₂+y₃+y₄+y₅=5，
∴這些交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為5，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．