Question

將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=．
（Ⅰ）求證：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE與平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直線(xiàn)BE上是否存在一點(diǎn)M，使得CM∥平面ADE，若存在，求點(diǎn)M的位置，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）借助空間向量來(lái)證 DE⊥AC，只需在空間直角坐標(biāo)系下，證明=0 即可．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AB，AD，AE所在的直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再寫(xiě)出定點(diǎn)E，A，B，D的坐標(biāo)，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，向量，坐標(biāo)，再計(jì)算（Ⅱ），看是否為0．
（Ⅱ）DE與平面BEC所成角，也即DE與平面BCE的法向量所成角的余角，設(shè)平面BCE的法向量為=（x，y，z） 則
根據(jù)法向量與平面內(nèi)任意向量垂直，即可求出平面BCE的法向量坐標(biāo)，再求平面BCE的法向量與DE所成角，最后求出該角的余角即可．
（III）先假設(shè)直線(xiàn)BE上存在一點(diǎn)M，使得CM∥平面ADE，向量垂直于平面ADE的法向量，再利用垂直時(shí)數(shù)量積為0來(lái)計(jì)算．如能計(jì)算出參數(shù)λ的值，則存在，否則，不存在．
解答：解：（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AB，AD，AE所在的直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則E（0，0，），B（2，0，0）D（0，2，0），
做BD的中點(diǎn)F并連接CF，AF；由題意可得CF⊥BD且AF=CF=
又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，
所以C的坐標(biāo)為C（1，1，）
∴=（0，-2，），=（1，1，）
∴=（0，-2，）•（1，1，）=0
故DE⊥AC                                                        
（Ⅱ）設(shè)平面BCE的法向量為=（x，y，z） 則
，即∴
令x=1得=（1，-1，）    又=（0，-2，）                          
設(shè)平面DE與平面BCE所成角為θ，則
sinθ=|cos＜，＞|==
（III）假設(shè)存在點(diǎn)M使得CM∥面ADE，則=
=（2，0，-），∴=（2λ，0，-）  得M（2λ，0，）     
又因?yàn)锳E⊥平面ABD，AB⊥AD  所以AB⊥平面ADE
因?yàn)镃M∥面ADE，則 即
得2λ-1=0∴λ=
故點(diǎn)M為BE的中點(diǎn)時(shí)CM∥面ADE．
點(diǎn)評(píng)：夲題考查了用空間向量求證線(xiàn)線(xiàn)垂直，線(xiàn)面平行，以及線(xiàn)面角，屬于常規(guī)題，需掌握．