Question

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，且每次遇到紅燈的概率都是，每次遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是1min．
（Ⅰ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間至多是2min的概率；
（Ⅱ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間X的分布列及期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)已知中學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，且每次遇到紅燈的概率都是，每次遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是1min．若這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間至多是2min，共包括三種情況，一是沒(méi)有遇到紅燈，二是遇到一次，三是遇到二次，分別求出三種情況的概率，然后代入互斥事件概率加法公式即可得到答案．
（II）分別計(jì)算出X取值為0，1，2，3，4時(shí)的概率，即可得到隨機(jī)變量X的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式，即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上因紅燈停留的總時(shí)間至多是2min為事件B，這名學(xué)生上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間為X，則X～B（4，）．
則由題意，得P（X=0）=（）⁴=，（2分）
P（X=1）=C₄¹（）³•（）¹=，（4分）
P（X=2）=C₄²•（）²•（）²=．（6分）
∴事件B的概率為P（B）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=．（8分）
（Ⅱ）由題意，可得X可能取得的值為0，1，2，3，4（單位：min）．由題意X～B（4，）
∴P（X=k）=C₄^k•（）^4-k•（）^k（k=0，1，2，3，4）．
∴即X的分布列是

X		1	2	3	4
P

∴X的期望是E（X）=4×=．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查隨機(jī)變量的分布列．二項(xiàng)分布．?dāng)?shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力．運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，其中在計(jì)算至多（少）型事件的概率及計(jì)算隨機(jī)變量的分布列時(shí)，準(zhǔn)確的分類是解答的關(guān)鍵．