Question

（2009•棗莊一模）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=

3

．
（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角A-BE-P的大�。�

Answer 1

分析：（I）連接BD，由已知中四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，我們可得BE⊥AB，PA⊥BE，由線面垂直的判定定理可得BE⊥平面PAB，再由面面平行的判定定理可得平面PBE⊥平面PAB；
（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，進而PB⊥BE，可得∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．解Rt△PAB即可得到二面角A-BE-P的大小．

解答：證明：（I）如圖所示，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等邊三角形．因為E是CD的中點，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，
又因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE，而PA∩AB=A，因此 BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．
解：（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥BE．
又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA=

PA

AB

=

3

，∠PBA=60°．．
故二面角A-BE-P的大小為60°．

點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合題，平面與平面垂直的判定，其中（I）的關鍵是熟練掌握線線垂直、線面垂直及面面垂直之間的轉換，（II）的關鍵是構造出∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．