Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），且經過點（1，

3

2

），點A（x_A，y_A），（y_A＞0）是橢圓上一點，連接AF₁，AF₂并延長交橢圓于B，C兩點．
（1）求橢圓方程；
（2）若

AF1

=

5

3

F1B

，求點A坐標；
（3）當B，C的縱坐標之比等于2時，求點A坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）直接根據待定系數求解其標準方程即可；
（2）首先，設出B點坐標，然后，將涉及到的向量用坐標表示，然后，建立坐標之間的關系，最后，結合橢圓的方程進行求解；
（3）首先，直線AF₁的方程為：x=

xA+1

yA

y-1，然后，代人橢圓方程，結合根與系數的關系，求解，利用B，C的縱坐標之比等于2，建立等式，求解點A的坐標．

解答： 解：（1）根據題意，得
c=1，2a=

3

2

+

5

2

=4，
∴a=2，b=

3

，
∴所求橢圓的標準方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴

AF1

=（-1-x_A，-y_A），

F2B

=（x_B-1，-y_B），
∵

AF1

=

5

3

F1B

，
∴

xB=- 3 5 xA- 8 5 yB=- 3 5 yA

，
代人橢圓方程，得

9 25 xA2+ 48 25 xA+ 64 25

4

+

9 25 yA2

3

=1，
∵

9

25

(

xA2

4

+

yA2

3

)=

9

25

，
∴

9

25

+

12

25

xA+

16

25

=1，
∴x_A=0，
∴A（0，

3

）．
（3）設直線AF₁的方程為：
x=

xA+1

yA

y-1，
代人標準方程

x2

4

+

y2

3

=1．并整理，得
（3

(xA+1)2

yA2

+4)y2-6

xA+1

yA

-9=0y²-6

xA+1

yA

y-9=0，
∴y_A•y_B=

-9

3 (xA+1)2 yA2 +4

，
同理，得
y_A•y_C=

-9

3 (xA-1)2 yA2 +4

，
∴

yA•yB

yA•yC

=

3 (xA-1)2 yA2 +4

3 (xA+1)2 yA2 +4

=

15-6xA

15+6xA

=2，
∴30+12x_A=15-6x_A，
解得 x_A=-

5

6

，
∴A（-

5

6

，

357

12

）．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程的確定、待定系數法的應用、平面向量的坐標運算、直線與橢圓的位置關系等知識點，考查比較綜合，屬于近幾年高考熱點問題和難點問題．