Question

已知雙曲線的兩條漸近線經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與以A（

2

，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A'與點A關(guān)于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線的方程；
（2）是否存在過A點的一條直線交雙曲線于M、N兩點，且線段MN被直線x=-1平分．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先確定雙曲線頂點的坐標(biāo)，再利用雙曲線的漸近線經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與以A（

2

，0）為圓心，1為半徑的圓相切，求得漸近線方程，從而求出雙曲線的方程；
（2）先假設(shè)存在，與雙曲線方程聯(lián)立，利用線段MN被直線x=-1平分，求參數(shù)的值，再進(jìn)行驗證即可．

解答：解：（1）由題意得，∵雙曲線的一個頂點A'與點A關(guān)于直線y=x對稱
∴頂點A'（0，

2

）
設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=kx
∵雙曲線的漸近線經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與以A（

2

，0）為圓心，1為半徑的圓相切
∴k=1
∴雙曲線的方程為

y2

2

-

x2

2

=1
（2）設(shè)過A點的一條直線方程為y=m(x-

2

)，
代入雙曲線方程并化簡得(m2-1)x2-2

2

m2x+2m2-2=0
由題意，

2 2 m2

m2-1

=-1，即m=±

2 2 -1 7

經(jīng)驗證，滿足題意
∴直線方程為y=±

2 2 -1 7

(x-

2

)

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是合理運用雙曲線的幾何性質(zhì)，對于是否存在性問題，通常轉(zhuǎn)化為封閉型問題求解．