Question

已知函數(shù)f(x)=log2(2x-1)，
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)使函數(shù)的解析式有意義的原則，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分必須大于0，可以構(gòu)造關(guān)于x的不等式，可得函數(shù)的定義域；
（2）取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷出f（x₁），f（x₂）的大小，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）要使函數(shù)f(x)=log2(2x-1)的解析式有意義
自變量必須滿(mǎn)足2^x-1＞0
即2^x＞1=2⁰
∴x＞0，
即f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}---------（5分）
（2）f（x）的在定義域內(nèi)為增函數(shù)．理由如下：
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=lo

g

(2x1-1) 2

-lo

g

(2x2-1) 2

=lo

g	2x1-1 2x2-1 2

-----------------（8分）
∵x₂＞x₁＞0
∴2x2＞2x1＞1
∴2x2-1＞2x1-1＞0
∴

2x1-1

2x2-1

＜1------------------------------------（10分）
f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）為定義域內(nèi)增函數(shù)--------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的定義域及函數(shù)的單調(diào)性，其中熟練掌握函數(shù)定義域的求法及函數(shù)單調(diào)性的證明方法是解答的關(guān)鍵．