Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA₁=b，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB₁，CC₁上，且BE=

1

3

BB1，C1F=

1

3

CC1．設(shè)λ=

b

a

．若平面AEF⊥平面A₁EF時(shí)，求λ的值．

Answer 1

分析：這是一直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，所以可以借助于建空間直角坐標(biāo)系，利用面面垂直，可得法向量垂直來(lái)解題．進(jìn)而可求λ的值．

解答：解：
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
∵E(a，0，

b

3

)，F(0，a，

2b

3

)，
∴

AE

=(a，0，

b

3

)，

AF

=(0，a，

2b

3

)．
設(shè)平面AEF的法向量為n_{1（x，y，z）}，
則n1•

AE

=0，且n1•

AF

=0．
即ax+

bz

3

=0，且ay+

2bz

3

=0．令z=1，則x=-

b

3a

，y=-

2b

3a

．

n1

=（-

b

3a

，-

2b

3a

，1）=(-

λ

3

，-

2λ

3

，1)是平面AEF的一個(gè)法向量．
同理

n2

=(

2b

3a

，

b

3a

，1)=(

2λ

3

，

λ

3

，1)是平面A₁EF的一個(gè)法向量．
∵平面AEF⊥平面A₁EF，∴

n1

•

n2

=0
∴-

2λ2

9

-

2λ2

9

+1=0．解得，λ=

3

2

．
∴當(dāng)平面AEF⊥平面A₁EF時(shí)，λ=

3

2

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)簡(jiǎn)單的直三棱柱為載體，考查空間面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，試題的難度適中，能有效檢測(cè)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．