Question

已知點(diǎn)P（2，2）在曲線y=ax³+bx上，如果該曲線在點(diǎn)P處切線的斜率為9，那么（i）ab=

 

；
（ii）函數(shù)f（x）=ax³+bx，x∈[-

3

2

，3]的值域?yàn)?!--BA-->

 

．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)在點(diǎn)P（2，2）的導(dǎo)數(shù)值等于9，且該點(diǎn)在曲線上可得到兩個(gè)方程，聯(lián)立的求得a，b的值，確定答案．
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果確定函數(shù)的解析式，然后求導(dǎo)數(shù)后令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，然后判斷函數(shù)在端點(diǎn)和極值的大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，從而得到值域．

解答：解：（1）點(diǎn)P（2，2）在曲線y=ax³+bx
則：8a+2b=2
∵y'=3ax²+b
∴當(dāng)x=2 時(shí)，12a+b=9
聯(lián)立得：a=1，b=-3∴ab=-3
（2）由（1）知y=x³-3x
∴y'=3x²-3，令3x²-3=0，x=±1
∵f（1）=1-3=-2，f（-1）=-1+3=2，f（3）=27-9=18，f（-

3

2

）=-

27

8

+

9

2

=

9

8

∴y=x³-3x在x∈[-

3

2

，3]的最大值為18，最小值為-2，即值域?yàn)閇-2，18]
故答案為：-3，[-2，18]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．屬基礎(chǔ)題．