Question

設(shè)直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有g(shù)（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
（1）曲線y=sinx的“上夾線”方程為

 

（2）曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程為

 

．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的定義域和值域,函數(shù)與方程的綜合運用

專題：導數(shù)的綜合應用,推理和證明

分析：（1）根據(jù)y=sinx≤1即夾線的定義推斷曲線y=sinx的“上夾線”方程為y=1并加以檢驗．
（2）先推測出y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程為y=mx+n，利用導函數(shù)和錯差法分別對直線y=mx+n與y=mx-nsinx相切，且至少有兩個切點和g（x）≥F（x）進行檢驗．

解答： 解：（1）∵y=sinx≤1，
要使直線l與曲線S相切且至少有兩個切點且對任意x∈R都有g(shù)（x）≥F（x），則需要g（x）=1，
故曲線y=sinx的“上夾線”方程為y=1．
（2）推測y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程為y=mx+n，
①先檢驗直線y=mx+n與y=mx-nsinx相切，且至少有兩個切點．
設(shè)F（x）=mx-nsinx，則F′（x）=m-ncosx，
令F′（x）=m，得x=2kπ±

π

2

，（k∈Z），
當x=2kπ-

π

2

時，F(xiàn)（2kπ-

π

2

）=m（2kπ-

π

2

）+n，
故過曲線F（x）上的點（2kπ-

π

2

，m（2kπ-

π

2

）+n）的切線方程為y-[m（2kπ-

π

2

）+n]=m[x-（2kπ-

π

2

）]，化簡得：y=mx+n，
即直線y=mx+n與曲線y=mx-nsinx相切且有無數(shù)個切點．
不妨設(shè)g（x）=mx+n，
∵g（x）-F（x）=n（1+sinx）≥0（n＞0），
∴g（x）≥F（x）
∴直線y=mx+n是曲線y=mx-nsinx的“上夾線”．
故答案為：y=1，y=mx+n

點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用．考查了學生推理和分析的能力．