Question

下圖表示物體運(yùn)動(dòng)的路程隨時(shí)間變化的函數(shù)f(t)=4t-2t²的圖象,試根據(jù)圖象,描述,比較曲線(xiàn)f(t)在t₀,t₁,t₂附近的變化情況,并求出t=2時(shí)的切線(xiàn)的方程.

Answer 1

解：用曲線(xiàn)f(t)在t₀,t₁,t₂處的切線(xiàn)刻畫(huà)曲線(xiàn)f(t)在t₀,t₁,t₂附近的變化情況.

(1)當(dāng)t=t₀時(shí),曲線(xiàn)f(t)在t₀處的切線(xiàn)l₀平行于x軸.所以在t=t₀附近曲線(xiàn)比較平坦,幾乎沒(méi)有升降.

(2)當(dāng)t=t₁時(shí),曲線(xiàn)f(t)在t₁處的切線(xiàn)l₁的斜率f′(t₁)＜0,所以在t=t₁附近曲線(xiàn)下降,即函數(shù)f(t)在t=t₁附近單調(diào)遞減.

(3)當(dāng)t=t₂時(shí),曲線(xiàn)f(t)在t₂處的切線(xiàn)l₂的斜率f′(t₂)＜0,所以在t=t₂附近曲線(xiàn)下降,即函數(shù)f(t)在t=t₂附近也單調(diào)遞減.由圖象可以看出,直線(xiàn)l₁的傾斜程度小于直線(xiàn)l₂的傾斜程度,說(shuō)明曲線(xiàn)f(t)在t₁附近比在t₂附近下降得緩慢.

(4)當(dāng)t=2時(shí),f(2)=0.

在t=2時(shí)的切線(xiàn)的斜率k=f′(2)=?

=

=

= (-2Δt-4)=-4.

所以切線(xiàn)的方程為y=-4(x-2),

即4x+y-8=0.

點(diǎn)評(píng)：f(t)對(duì)t的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，應(yīng)明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義.