Question

球面上的3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的

1

6

，經過這3個點的小圓的周長為4π，求這個球的體積．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：因為正三角形ABC的外徑r=2，故可以得到高，D是BC的中點．在△OBC中，又可以得到角以及邊與R的關系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．然后求出球的體積．

解答： 解：因為球面上有三個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的

1

6

，△ABC是正三角形，
過ABC的小圓周長為4π，正三角形ABC的外接圓半徑r=2，故三角形ABC的高AD=

3

2

r=3，D是BC的中點．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

3

，所以BC=BO=R，BD=

1

2

BC=

1

2

R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=

1

4

R²+9，所以R=2

3

．
所求球的體積為：

4π

3

×(2

3

)3=32

3

π．

點評：本題考查學生的空間想象能力，以及對球的性質認識及利用，是中檔題．