Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，則

2010

n=1

1

f(n)

=

 

．

Answer 1

分析：令y=1，找到f（n+1）和f（n）之間的關(guān)系，然后累加，求得f（n）的表達(dá)式，進(jìn)而求得

1

f(n)

的表達(dá)式，仔細(xì)觀(guān)察該式的特點(diǎn)，進(jìn)行裂項(xiàng)，這樣的話(huà)就能夠發(fā)現(xiàn)再次累加就能夠求得所求表達(dá)式的值．

解答：解：令y=1得f（x+1）=f（x）+2x+2，
      即f（n+1）=f（n）+2n+2，
      故f（2）-f（1）=2×1+2，
        f（3）-f（2）=2×2+2
        …
        f（n）-f（n-1）=2（n-1）+2
      以上n-1個(gè)式子相加得：
          f（n）-f（1）=2[1+2+3+…+（n-1）]+2n=n（n-1）+2n     
      所以 f（n）=2[1+2+3+…+（n-1）]+2n+2=n（n-1）+2n+2=n（n+1） 
      所以 

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

     

故 2010 n=1 1 f(n) =(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+ +( 1 2010 - 1 2011 )=1- 1 2011 = 2010 2011 ． 故答案為： 2010 2011

點(diǎn)評(píng)：本題具有抽象函數(shù)題目的一般特點(diǎn)，往往給出一個(gè)該抽象函數(shù)滿(mǎn)足的一個(gè)式子，關(guān)鍵點(diǎn)就是仔細(xì)觀(guān)察式子的特點(diǎn)，根據(jù)題目的條件適當(dāng)?shù)膶?duì)變量進(jìn)行賦值，發(fā)現(xiàn)函數(shù)很好的特點(diǎn)，找出思路，從而解決問(wèn)題．該題還利用了數(shù)列里面經(jīng)常用到的累加法，以及裂項(xiàng)等非常重要的方法，不失為一個(gè)好題．