如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為15
2
海里/小時(shí),在甲船從A島出發(fā)的同時(shí),乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā),朝北偏東θ(tanθ=
1
2
)的方向作勻速直線航行,速度為m海里/小時(shí).
(1)若兩船能相遇,求m.
(2)當(dāng)m=10
5
時(shí),求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間距離最近,最近距離為多少海里?
分析:(1)設(shè)兩船在M處相遇,利用正弦定理,即可求出BM,然后求出相遇時(shí)的時(shí)間.
(2)以A為原點(diǎn),BA所在直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)出在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P(x1,y1)Q(x2,y2)處,
求出P、Q坐標(biāo)|PQ|=
(x2x1)2+(y2y1)2
利用配方法求出最小值.
解答:解:(1)因?yàn)閠anθ=
1
2
,
sinθ
cosθ
=
1
2
sin2θ +cos2θ=1
,解得sinθ=
5
5
,cosθ=
2
5
5
;
甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,
設(shè)兩船在M處相遇,sin∠AMB=sin(45°-θ)=sin45°cosθ-cos45°sinθ=
10
10
,
由正弦定理
AM
sinθ
=
AB
sin∠AMB
,
AM
5
5
=
40
10
10
,
AM=40
2
,
從而有BM=40
5
,
又時(shí)間t=
AM
15
2
=
40
2
15
2
=
8
3
,
m=
BM
t
=
40
5
8
3
=15
5

(2)以A為原點(diǎn),BA所在直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,
設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P(x1,y1)Q(x2,y2)處,
則由tanθ=
1
2
,cosθ=
2
5
5
,sinθ=
5
5
,
x1=15t
y1=15t
,
x2=10
5
tsinθ=10t
y2=10
5
tcosθ-40=20t-40
,
|PQ|=
(x2x1)2+(y2y1)2

=
(10t- 15t )2+(20t-40-15t)2

=
50t2-400t+1600 

=
50(t-4)2+800 
≥20
2

∴當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí)|PQ|取得最小值20
2

即兩船出發(fā)后4小時(shí)時(shí)間距離最近,最近距離為20
2
海里.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了解三角形問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用.考查余弦定理以及配方法的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決的能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為15
2
海里/小時(shí),在甲船從A島出發(fā)的同時(shí),乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā),朝北偏東θ(tanθ=
1
2
)的方向作勻速直線航行,速度為m海里/小時(shí).
(Ⅰ)求4小時(shí)后甲船到B島的距離為多少海里?
(Ⅱ)若兩船能相遇,求m.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為15
2
海里/小時(shí),在甲船從A島出發(fā)的同時(shí),乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā),朝北偏東θ(tanθ=
1
2
)的方向作勻速直線航行,速度為10
5
海里/小時(shí).
(1)求出發(fā)后3小時(shí)兩船相距多少海里?
(2)求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間距離最近?最近距離為多少海里?
(3)兩船在航行中能否相遇,試說(shuō)明理由.

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(本小題滿分12分)

如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東的方向作勻速直線航行,速度為海里/小時(shí),在甲船從A島出發(fā)的同時(shí),乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā),朝北偏東的方向作勻速直線航行,速度為海里/小時(shí)。

   (1)若兩船能相遇,求。

   (2)當(dāng)時(shí),求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間距離最近,最近距離為多少海里?

 

 

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如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為15海里/小時(shí),在甲船從A島出發(fā)的同時(shí),乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā),朝北偏東θ(tanθ=)的方向作勻速直線航行,速度為10海里/小時(shí).
(1)求出發(fā)后3小時(shí)兩船相距多少海里?
(2)求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間距離最近?最近距離為多少海里?
(3)兩船在航行中能否相遇,試說(shuō)明理由.

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