Question

已知函數(shù)f（x）=㏒_ax（a＞0且a≠1），若數(shù)列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差數(shù)列
（1）求數(shù)列{a _n}的通項a _n；
（2）令b _n=a_nf（a_n），當(dāng)a＞1時，判斷數(shù)列{b_n}的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先弄清數(shù)列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4的項數(shù)，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出d的值，從而求出數(shù)列{a_n}的通項；
（2）將a_n代入函數(shù)的解析式求出的b_n通項公式，然后根據(jù)條件判定b_n+1-b_n的符號，從而得到數(shù)列{b _n}的單調(diào)性．

解答：（1）解：∵數(shù)列2，f（a ₁），f（a ₂），…，f（a _n），2n+4（n∈N^*）成等差數(shù)列
∴2n+4=2+（n+1）d，∴d=2，
∴f（a_n）=2+2n=log_aa_n，
∴a_n=a²ⁿ⁺²
（2）數(shù)列{b _n}單調(diào)遞增
證明：∵b _n=a_nf（a_n），
∴b_n=（2n+2）a²ⁿ⁺²，
則b_n+1=（2n+4）a²ⁿ⁺⁴，
∴b_n+1-b_n=（2n+4）a²ⁿ⁺⁴-（2n+2）a²ⁿ⁺²=a²ⁿ⁺²[（2n+4）a²-（2n+2）]
∵a＞1
∴a²＞1
∴（2n+4）a²-（2n+2）＞（2n+4）-（2n+2）=2＞0
∴b_n+1-b_n＞0即數(shù)列{b _n}單調(diào)遞增．

點評：本題主要考查了數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列與不等式的綜合和數(shù)列的函數(shù)特性，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．