Question

（理）實(shí)數(shù)x，y滿足x²-y²=4，若

y+2

x

+m＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

m≥

2

．

Answer 1

分析：由題意可得m＞-

y+2

x

恒成立，則只要m＞-

y+2

x

的最大值即可，令k=

y+2

x

，則k的幾何意義是在雙曲線上任取一定與定點(diǎn)A（0，-2）的連線的斜率，聯(lián)立方程

x2-y2=4 y+2=kx

可得（1-k²）x²+4kx-8=0，由△=16k²+32（1-k²）≥0可求K的最大值進(jìn)而可求m的范圍

解答：解：∵

y+2

x

+m＞0恒成立
∴m＞-

y+2

x

恒成立，則只要m＞-

y+2

x

的最大值即可
令k=

y+2

x

，則k的幾何意義是在雙曲線上任取一定與定點(diǎn)A（0，-2）的連線的斜率
聯(lián)立方程

x2-y2=4 y+2=kx

可得（1-k²）x²+4kx-8=0
∴△=16k²+32（1-k²）≥0
∴-

2

≤k≤

2

∴-

2

≤-

y+2

x

≤

2

即-

y+2

x

的最大值為

2

故答案為：m≥

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與曲線相交關(guān)系的應(yīng)用，在解題時(shí)，關(guān)鍵是分析表達(dá)式的幾何意義，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解式子的最大值的問(wèn)題，還要注意本題的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．