已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.

(Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)求證：當(dāng)x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

(Ⅲ)求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

(Ⅰ)證明：∵g′(x)=,又xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立，

∴g′(x)＞0,∴g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù).

(Ⅱ)證明：當(dāng)x1＞0,x2＞0時，有x1+x2＞x1,x1+x2＞x2,

    由（Ⅰ）得g(x1+x2)＞g(x1),g(x1+x2)＞g(x2),

    即：＞,＞.

∴x1f(x1+x2)＞(x1+x2)f(x1),

x2f(x1+x2)＞(x1+x2)f(x2),

∴(x1+x2)f(x1+x2)＞(x1+x2)(f(x1)+f(x2)),

∴f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2).

(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明

(ⅰ)當(dāng)n=1時，左==ln4,

    右==·，由于ln4＞1＞,

∴ln4＞·.即原不等式成立.

(ⅱ)假設(shè)n=k時，命題成立.即：

+++…+＞,

    那么：+++…+＞

2+

=

=·≥.

    這就是說，當(dāng)n=k+1時，命題也成立.

    由(ⅰ)(ⅱ)可知，對一切n∈N*,都有

+++…+＞成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導(dǎo)的函數(shù),若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.?

(1)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù);

(2)求證:當(dāng)x1＞0,x2＞0時,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

(3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立,求證:ln22+ln32+ln42+…+)2ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.

(Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)求證：當(dāng)x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)；

(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在（0，+∞）上每一點處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.

（Ⅰ）求證：函數(shù)g(x)=在（0，+∞）上是增函數(shù)；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

（Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0，+∞)上處處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立．

(1)求證：函數(shù)g(x)=在(0，+∞)上單調(diào)遞增；

(2)求證：當(dāng)x1＞0，x2＞0時，f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．

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