Question

已知定義在（0，+∞）上的函數，其中a＞0，設兩曲線有公共點P（x₀，y₀），且在點P（x₀，y₀）處的切線是同一條直線．
（1）若a=1，求P（x₀，y₀）及b的值；
（2）用a來表示b，并求b的最大值．

Answer 1

解：（1）若a=1時，
分別求導數：…（2分）
∵在P（x₀，y₀）的切線是同一條直線．
∴，且，解得：x₀=-3或1--（4分）
∵定義在（0，+∞）上，
∴x₀=-3舍去，將x₀=1代入得…（6分）
∴公共點，…（7分）
代入g（x）=3lnx+b∴…（8分）
（2）分別求導數：…（10分）
在P（x₀，y₀）的切線是同一條直線．
∴，即x₀=-3a或a，其中x₀=-3a舍去…（12分）
∴x₀=a而f（x₀）=g（x₀）得到：（ a＞0）…（13分）
令（t＞0）
∴h'（t）=2t-6tlnt
令h'（t）=2t-6tlnt=0，解得…（14分）
當h'（t）＞0時，
當h'（t）＜0時，…（15分）
∴當時h（t）取到最大值，即----（16分）
分析：（1）求出f（x），g（x）的導數，求出兩個導函數在x₀的值即點p處的切線斜率，求出b的值．
（2）利用f（x），g（x）在x₀處的導數值相等，得到關于a，b的等式，分離出b，求出b的導數，令導數為0求出根，判斷根左右兩邊的符號求出極值，即最值．
點評：本題考查曲線在切點處的導數值是曲線的切線斜率；求函數的極值，先求出導數，令導數為0，注意一定判斷根左右兩邊的符號．