Question

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，
且滿足2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC．
（1）證明：a²，b²，c²成等差數(shù)列且0＜B≤

π

3

；
（2）求函數(shù)y=2

3

sin2B+sin(2B+

π

3

)的最大值．

Answer 1

分析：（1）將2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC中的正切化正弦，可得 2sinAsinCcosB=sin²B，利用正弦定理和余弦定理可得a²+c²=2b²，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2

4ac

，再利用基本不等式可證0＜B≤

π

3

；
 （2）利用降冪公式與輔助角公式將y=2

3

sin2B+sin(2B+

π

3

)化為y=sin(2B-

π

3

)+

3

，再由0＜B≤

π

3

得-

π

3

＜2B- 

π

3

≤

π

3

，其最大值可求．

解答：解：（1）∵2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC．
∴2

sinAsinC

cosAcosC

=

sinB

cosB

(

sinA

cosA

+

sinC

cosC

)=

sinB

cosB

sin(A+C)

cosAcosC

∴2sinAsinCcosB=sin²B∴2accosB=b²，
∴a²+c²-b²=b²∴a²+c²=2b²
∴a²，b²，c²成等差數(shù)列
     由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2

4ac

．
     因?yàn)閍²+c²≥2ac，∴cosB≥

1

2

．
     由0＜B＜π，得0＜B≤

π

3

  （2）y=2

3

1-cos2B

2

+sin2Bcos

π

3

+cos2Bsin

π

3

=

1

2

sin2B-

3

2

cos2B+

3

=sin(2B-

π

3

)+

3

∵0＜B≤

π

3

∴-

π

3

＜2B-

π

3

≤

π

3

，
∴-

3

2

＜sin(2B-

π

3

)≤

3

2

，
∴y∈(

3

2

，

3 3

2

]，
∴ymax=

3 3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，重點(diǎn)考查正、余弦定理、等差數(shù)列的概念及正弦函數(shù)的性質(zhì)，解決的關(guān)鍵是掌握好上述內(nèi)容，并靈活運(yùn)用之，屬于難題．