Question

已知函數(shù)，曲線在處的切線過點.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）當時，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f(x)＝lnx＋; （Ⅱ）f(x)的取值范圍是[1，ln5＋]．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導數(shù)的幾何含義確定曲線的切線方程的斜率，然后借助切線過點建立等量關(guān)系；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的定義域，借助求導分析函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的最大值和最小值.

試題解析：（Ⅰ）f¢(x)＝－＝．

則f¢(2)＝，f(2)＝ln2＋．

則曲線y＝f(x)在(2，f(2))處的切線為y＝ (x－2)＋ln2＋，

即y＝x＋m－1＋ln2．                                                                                            3分

依題意，m－1＋ln2＝ln2，所以m＝1．

故f(x)＝lnx＋．                                                                                                                5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)＝lnx＋，f¢(x)＝．

當x∈[，1]時，f¢(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，此時，f(x)∈[1，2－ln2]；

當x∈[1，5]時，f¢(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，此時，f(x)∈[1，ln5＋]．        10分

因為(ln5＋)－(2－ln2)＝ln10－＞lne²－＝，

所以ln5＋＞2－ln2．

因此，f(x)的取值范圍是[1，ln5＋]．                                                                           12分

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值；2.導數(shù)的幾何含義.