Question

（2013•溫州一模）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=4x上相異兩點(diǎn)，且滿足x₁+x₂=2．
（Ⅰ）AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2），求直線A的方程；
（Ⅱ）AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M，△AMB的面積的最大值及此時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

分析：方法一：
（I）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，與y²=4x聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合x(chóng)₁+x₂=2可求得直線AB的方程為y=k（x-1）+

2

k

，而AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

2

k

），AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2），可求得AB的斜率，從而可求直線AB的方程；
（Ⅱ）依題意，直線AB的方程為k²x-ky+2-k²=0，利用點(diǎn)到直線間的距離公式可求得點(diǎn)M到直線AB的距離d，聯(lián)立AB的方程與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求得|AB|，于是可得到面積表達(dá)式，通過(guò)導(dǎo)數(shù)法即可求得△AMB的面積的最大值及此時(shí)直線AB的方程；
法二：（Ⅰ）設(shè)AB的中點(diǎn)為Q（1，t），可求得k_AB=

2

t

，由（t-2）•

2

t

=-1，可求得t繼而可得直線AB的方程為y=

3

2

x-

1

6

；
（Ⅱ）依題意可得直線AB的方程，繼而可求點(diǎn)M到直線AB的距離為d=

t2+4

t2+4

=

t2+4

，從而可得面積表達(dá)式，利用基本不等式即可求得△AMB的面積的最大值及此時(shí)直線AB的方程．

解答：解：方法一：
（I）當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，顯然不符合題意，
所以設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入方程y²=4x得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0
∴x₁+x₂=

4-2kb

k2

=2，…（2分）
得：b=

2

k

-k，
∴直線AB的方程為y=k（x-1）+

2

k

，
∵AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

2

k

）    …（4分）
∴AB的中垂線方程為y=-

1

k

（x-1）+

2

k

=-

1

k

x+

3

k

，
∵AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2），故

3

k

=2，得k=

3

2

      …（6分）
∴直線AB的方程為y=

3

2

x-

1

6

，…（7分）
（Ⅱ）由（I）可知AB的中垂線方程為y=-

1

k

x+

3

k

，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）…（8分）
因?yàn)橹本�AB的方程為k²x-ky+2-k²=0，
∴M到直線AB的距離d=

|3k2+2-k2|

k4+k2

=

2 k2+1

|k|

      …（10分）
由

k2x-ky+2-k2=0 y2=4x

得

k2

4

y²-ky+2-k²=0，
y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

8-2k2

k2

，
|AB|=

1+ 1 k2

|y₁-y₂|=

4 1+k2 k2-1

k2

            …（12分）
∴S_△AMB=4（1+

1

k2

）

1- 1 k2

，設(shè)

1- 1 k2

=t，則0＜t＜1，
S=4t（2-t²）=-4t³+8t，S′=-12t²+8，由S′=0，得t=

6

3

，
即k=±

3

時(shí)S_max=

16 6

9

，
此時(shí)直線AB的方程為3x±

3

y-1=0．…（15分）
（本題若運(yùn)用基本不等式解決，也同樣給分）
法二：
（1）根據(jù)題意設(shè)AB的中點(diǎn)為Q（1，t），則k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

2

t

      …（2分）
由P、Q兩點(diǎn)得AB中垂線的斜率為k=t-2，…（4分）
由（t-2）•

2

t

=-1，得t=

4

3

，…（6分）
∴直線AB的方程為y=

3

2

x-

1

6

，…（7分）
（2）由（1）知直線AB的方程為y-t=

2

t

（x-1），…（8分）
AB中垂線方程為y-t=-

t

2

（x-1），中垂線交x軸于點(diǎn)M（3，0），
點(diǎn)M到直線AB的距離為d=

t2+4

t2+4

=

t2+4

，…（10分）
由

y-t= 2 t (x-1) y2=4x

得：4x²-8x+（t²-2）²=0，
∴|AB|=

1+ 4 t2

|x₁-x₂|=

(t2+4)(4-t2)

，x₁+x₂=2，x₁x₂=

(t2-2)2

4

∴S=

1

2

|AB|•d=

1

2

(t2+4)2(4-t2)

=

2

4

(t2+4)2(8-2t2)

≤

2

4

( 16 3 )3

=

16 6

9

，
當(dāng)t²=

4

3

時(shí)，S有最大值

16 6

9

，此時(shí)直線AB方程為3x±

3

y-1=0…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查：直線的一般式方程，考查：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，突出考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于難題．