Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（1-x），g（x）=log₂（1+x），令F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求F（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)F（x）的奇偶性，并予以證明；
（3）若a，b∈（-1，1），猜想F（a）+F（b）與F（

a+b

1+ab

）之間的關(guān)系并證明．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，

1-x＞0 1+x＞0

，由此求得定義域．
（2）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且F（-x）=-F（x），所以F（x）為奇函數(shù)．利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)F（a）+F（b）和F（

a+b

1+ab

）的解析式，從而得到結(jié)論．

解答：解：（1）由題意可知，

1-x＞0 1+x＞0

，求得定義域?yàn)椋?1，1）．--------（3分）
（2）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且F（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=g（x）-f（x）=-F（x），
所以F（x）為奇函數(shù)．-------（7分）
（3）當(dāng) x∈（-1，1）時(shí)，F(xiàn)（x）=log2

1-x

1+x

，
F（a）+F（b）=log2

1-a

1+a

+log2

1-b

1+b

=log2

(1-a)(1-b)

(1+a)(1+b)

=log2

1+ab-a-b

1+ab+a+b

．
F（

a+b

1+ab

）=log2

1- a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=log2

1+ab-a-b

1+ab+a+b

．-----（11分）
所以 F（a）+F（b）與F（

a+b

1+ab

）相等．-------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．