Question

 

如題（20）圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.

 

 

Answer 1

【答案】

 （I）證明：如答（20）圖1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB，由PA=AB知

為等腰直角三角形，又點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，故AE⊥PB

由題意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD內(nèi)的射影，

由垂線(xiàn)定理得BC⊥PB，從而PC⊥平面PAB，

因AE⊥BP，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC。

   （II）解：由（I）知BC⊥平面PAB，又AD//BC，

得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE。

在中，PA=AB=，

從而在，

所以為等邊三角形，

取CE的中點(diǎn)F，連接DF，則

因BE=BC=1，且BC⊥BE，則為等腰直角三角形，連接BF，則BF⊥CE，

所以為所求的二面角的平面角。

連接BD，在中，

所以

故二面角B—EC—D的平面角的余弦值為

解法二：

   （I）如答（20）圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz.

    設(shè)D（0，a，0），則

    .

    于是

   

    則，所以AE⊥平面PBC.

   （II）解：設(shè)平面BEC的法向量為n，由（I）知，AE⊥平面BEC，

故可取

設(shè)平面DEC的法向量，則，

由 =1，得

從而

故

所以

可取

從而

所以二面角B—EC—D的平面角的余弦值為