Question

對于定義域為[0，1]的函數(shù)f（x），若同時滿足以下三個條件：
①f（1）=1； 
②?x∈[0，1]，總有f（x）≥0； 
③當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，求f（0）．
（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）和函數(shù)h(x)=sin

π

2

x（x∈[0，1]）是否為理想函數(shù)？若是，予以證明；若不是，說明理由．
（III）設(shè)函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，若?x₀∈[0，1]，使f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（I）賦值可考慮取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0
（II）要判斷函數(shù)g（x）=2^x-1，h(x)=sin

π

2

x（x∈[0，1]）在區(qū)間[0，1]上是否為“理想函數(shù)，只要檢驗函數(shù)g（x）=2^x-1，h(x)=sin

π

2

x（x∈[0，1]是否滿足題目中的三個條件
（III）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能夠推導(dǎo)出f（x₀）=x₀．

解答：解：（I）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0
由已知?x∈[0，1]，總有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0
（II）顯然g（x）=2^x-1在[0，1]上滿足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
則有g(shù)（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x2-1）（2x1-1）≥0
故g（x）=2^x-1滿足條件①②③，所以g（x）=2^x-1為理想函數(shù)．
對應(yīng)函數(shù)h(x)=sin

π

2

x在x∈[0，1]上滿足①h（1）=1； ②?x∈[0，1]，總有h（x）≥0；
③但當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，例如x1=

1

2

=x₂時，h（x₁+x₂）=h（1）=1，而h（x₁）+h（x₂）=2h（

1

2

）=

2

，不滿足條件③，則函數(shù)h（x）不是理想函數(shù)．
（III）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，則f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若：f（x₀）＜x₀，則f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．

點評：采用賦值法是解決抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用的常用方法，而函數(shù)的新定義往往轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)性質(zhì)的研究，本題結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)值域的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．