某種產(chǎn)品每件成本為6元,每件售價為x元(x>6),年銷量為u萬件,若已知成正比,且售價為10元時,年銷量為28萬件.
(1)求年銷售利潤y關于x的函數(shù)關系式.
(2)求售價為多少時,年利潤最大,并求出最大年利潤.
【答案】分析:(1)根據(jù)題中條件:“若已知成正比”可設,再依據(jù)售價為10元時,年銷量為28萬件求得k值,從而得出年銷售利潤y關于x的函數(shù)關系式.
(2)利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,先求出y的導數(shù),根據(jù)y′>0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間,y′<0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間,從而求出極值進而得出最值即可.
解答:解:(1)設,
∵售價為10元時,年銷量為28萬件;
,解得k=2.
=-2x2+21x+18.
∴y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108.
(2)y'=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9)
令y'=0得x=2(∵x>6,舍去)或x=9
顯然,當x∈(6,9)時,y'>0當x∈(9,+∞)時,y'<0
∴函數(shù)y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是關于x的增函數(shù);
在(9,+∞)上是關于x的減函數(shù).
∴當x=9時,y取最大值,且ymax=135.
∴售價為9元時,年利潤最大,最大年利潤為135萬元.
點評:本小題主要考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型,以及運用函數(shù)、導數(shù)的知識解決實際問題的能力.屬于基礎題.
練習冊系列答案
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成正比,且售價為10元時,年銷量為28萬件.
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