Question

已知在區(qū)間上是增函數(shù)，實數(shù)組成集合；設關(guān)于的方程的兩個非零實根實數(shù)使得不等式使得對任意及恒成立，則的解集是（    ）

A.         B. 

C.                D.

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，

∴f'（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，

即x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立．①

設φ（x）=x²-ax-2，

方法一：①⇔φ(1)=1-a-2≤0且φ(-1)=1+a-2≤0⇔-1≤a≤1，

∵對x∈[-1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f'（-1）=0以及當a=-1時，f'（1）=0

∴A={a|-1≤a≤1}．

方法二：

①⇔，φ(-1)=1+a-2≤0或，φ(1)=1-a-2≤0⇔0≤a≤1或-1≤a≤0

⇔-1≤a≤1．

∵對x∈[-1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f'（-1）=0以及當a=-1時，f'（1）=0

∴A={a|-1≤a≤1}．

由=，得x²-ax-2=0，∵△=a²+8＞0，∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，從而|x₁-x₂|===∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3．

要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[-1，1]恒成立，

即m²+tm-2≥0對任意t∈[-1，1]恒成立．②

設g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），

方法一：

②⇔g（-1）=m²-m-2≥0，g（1）=m²+m-2≥0，

⇔m≥2或m≤-2．

所以，存在實數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．,

方法二：

當m=0時，②顯然不成立；

當m≠0時，

②⇔m＞0，g（-1）=m²-m-2≥0或m＜0，g（1）=m²+m-2≥0

⇔m≥2或m≤-2．

所以，存在實數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．,選A.

考點：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系寫出不等式先看成關(guān)于a的不等式恒成立再看成關(guān)于t的一次不等式恒成立，讓兩端點大等于零，以及函數(shù)單調(diào)遞增導數(shù)大于等于零列出不等式解之