Question

5．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作x軸的垂線交橢圓C于一點(diǎn)$E（{1，\frac{3}{2}}）$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，P為橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交直線l：x=m（m＞a）于M，N兩點(diǎn)，
（�。┰O(shè)直線AP、BP的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁k₂為定值；
（ⅱ）若以線段MN為直徑的圓過點(diǎn)F，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由c=1，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$，即可求得a和b的值，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）（�。┣蟮弥本�直線AP、BP的斜率分別為k₁，k₂，由P在橢圓方程，則y₀²=3-$\frac{3}{4}$x₀²，即可求得k₁k₂為定值；
（ⅱ）由題意可知$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：c=1，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-1}{a}$=$\frac{3}{2}$，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）（�。┳C明：由題意可知：由A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（x₀，y₀）在橢圓方程C上，
則x₀≠0，y₀²=3-$\frac{3}{4}$x₀²，
則k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
由k₁k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{3-\frac{3}{4}{x}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$，
∴k₁k₂為定值-$\frac{3}{4}$；
（ⅱ）由題意可知：直線AP、BP的斜率一點(diǎn)存在，設(shè)直線AP：y=k₁（x+2），
令x=m，則y=k₁（m+2），即M（m，k₁（m+2）），
直線BP：y=k₂（x-2），令x=m，則y=k₂（m-2），即N（m，k₂（m-2）），m＞2，
以MN為直徑的圓過點(diǎn)F（1，0），
則FM⊥FN，即$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=0，
即$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（m-1，k₁（m+2））（m-1，k₂（m-2）），
=（m-1）²+k₁k₂（m²-4）=0，
由（�。┛芍�：k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，代入橢圓方程，整理得：
（m-1）²+（-$\frac{3}{4}$）（m²-4）=0，即（m²-4）=0，解得：m=4，
實(shí)數(shù)m的值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線的斜率，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．