Question

曲線C：x²-y²=1，（x≤0）上一點(diǎn)P（a，b）到它的一條斜率為正的漸近線的距離為它的離心率，則a+b的值是

 

；曲線C的左焦點(diǎn)為F，M（x，y）（y≤0）是曲線C上的動點(diǎn)，則直線MF的傾角的范圍是

 

．

Answer 1

分析：據(jù)雙曲線的方程，求出漸近線方程及離心率；利用點(diǎn)到直線的距離公式列出a，b的方程；將P的坐標(biāo)代入雙曲線方程得到a，b的另一個方程；解方程求出a+b；畫出雙曲線在所給范圍內(nèi)的圖象，畫出過左焦點(diǎn)且與漸近線平行的直線，將其轉(zhuǎn)動，數(shù)形結(jié)合判斷出MF的傾斜角的范圍．

解答：解：雙曲線C的漸近線的方程為y=±x，離心率為e=

2

∴斜率為正的漸近線為y=x即x-y=0．
∴

|a-b|

2

=

2

，①
∴|a-b|=2
又∵a²-b²=1②
解①②得a+b=-

1

2

；

如圖，直線l是過左焦點(diǎn)且與漸近線y=x平行的直線，將其逆時針旋轉(zhuǎn)，直到x軸重合，都與雙曲線的左下半支有交點(diǎn)，
所以直線MF的傾角的范圍是(

π

4

，π)∪{0}
故答案為：(

π

4

，π)∪{0}

點(diǎn)評：考查雙曲線的漸近線方程與雙曲線的焦點(diǎn)位置有關(guān)、考查解決直線與雙曲線的交點(diǎn)個數(shù)問題常數(shù)形結(jié)合來解．