Question

（2010•廣州模擬）在△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列．
（1）求角B的大��；
（2）若sin(A+B)=

2

2

，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）由角A，B，C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關系式，再根據(jù)三角形是的內(nèi)角和定理化簡，即可求出B的度數(shù)；
（2）法1：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導公式得到sin（A+B）=sinC，可得出sinC的度數(shù)，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，由B和C的度數(shù)求出A的度數(shù)，即可確定出A的度數(shù)，可得出sinA的值；
法2：由A和B為三角形的內(nèi)角，根據(jù)sin（A+B）的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A+B的度數(shù)，根據(jù)B的度數(shù)求出A的度數(shù)，可得出sinA的值；
法3：把B的度數(shù)代入已知的等式中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡得出關于sinA和cosA的關系式，再根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關系得到sin²A+cos²A=1，兩者聯(lián)立可求出sinA的值．

解答：解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，
由角A，B，C成等差數(shù)列，得2B=A+C．
解得B=

π

3

；
（2）方法1：由sin(A+B)=

2

2

，即sin(π-C)=

2

2

，得sinC=

2

2

，
所以C=

π

4

或C=

3π

4

，
由（1）知B=

π

3

，所以C=

π

4

，即A=

5π

12

，
所以sinA=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

2 + 6

4

；
方法2：因為A，B是△ABC的內(nèi)角，且sin(A+B)=

2

2

，
所以A+B=

π

4

或A+B=

3π

4

．
由（1）知B=

π

3

，
所以A+B=

3π

4

，即A=

5π

12

，
所以sinA=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

2 + 6

4

；
方法3：由（1）知B=

π

3

，所以sin(A+

π

3

)=

2

2

，
即sinAcos

π

3

+cosAsin

π

3

=

2

2

，即

1

2

sinA+

3

2

cosA=

2

2

，

3

cosA=

2

-sinA，
3cos2A=2-2

2

sinA+sin2A，
又cos²A=1-sin²A，
所以3(1-sin2A)=2-2

2

sinA+sin2A．
即4sin2A-2

2

sinA-1=0，
解得：sinA=

2 ± 6

4

，
因為角A是△ABC的內(nèi)角，所以sinA＞0，
故sinA=

2 + 6

4

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，同角三角函數(shù)間的基本關系，三角形的內(nèi)角和定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．