已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+bx+c圖象上的點P（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+1，函數(shù)g（x）=f（x）-ax2+3是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

解：（1）f′（x）=-3x2+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為-3，
∴f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1，
又函數(shù)g（x）=-x3+bx+c+3是奇函數(shù)，
∴c=-3．∴a=-2，b=4，c=-3，
∴f（x）=-x3-2x2+4x-3．
（2）f′（x）=-3x2-4x+4=-（3x-2）（x+2），令f（x）=0，得x=或x=-2，
當x∈（-∞，-2）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
當x∈時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；
當x∈時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
所以f（x）極小=f（-2）=-11，f（x）極大=f．．
分析：（1）由題意先求f（x）的導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何含義和切點的實質(zhì)及g（x）為奇函數(shù)建立a，b，c的方程求解即可；
（2）有（1）可知函數(shù)f（x）的解析式，先對函數(shù)f（x）求導，再利用極值概念加以求解即可．
點評：（1）此問重點考查了導函數(shù)的幾何意義，奇函數(shù)的概念和切點的定義，還考查了方程的數(shù)學思想；
（2）此問考查了函數(shù)的極值的定義和求極值的方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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