Question

【題目】函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)在上不單調(diào)時；

①記在上的最大值、最小值分別為，求；

②設(shè)，若，對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

試題分析：（1）先轉(zhuǎn)化：分段函數(shù)在上為增函數(shù)，各段都為增函數(shù)且在結(jié)合點處（本題連續(xù)，不需討論）也單調(diào)遞增，因此只需在為增函數(shù)，所以（2）①先根據(jù)函數(shù)在上不單調(diào)，得，而此時函數(shù)為先增再減再增，即在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，因此根據(jù)定義區(qū)間與單調(diào)區(qū)間位置關(guān)系分類討論，確定最值，最后列出函數(shù)解析式②先轉(zhuǎn)化不等式恒成立：由得，所以，對恒成立，等價于在上的值域是的子集，由①中最值情況可得滿足條件：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，再研究對應(yīng)函數(shù)的取值范圍，最后求并集得結(jié)果

試題解析：由已知得，．．．．．．．．．．．．．1分

令，則，所以在上為增函數(shù)；．．．．．．．．．2 分

令，則，

令，得，所以在和上是增函數(shù)，

在上為減函數(shù)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分

（1）因為在上是增函數(shù)，所以在為增函數(shù)，所以．．．．．．．．．．．．4分

（2）因為函數(shù)在上不單調(diào)，所以，

①當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以．．．．．．．．．．．．5分

當(dāng)，即時，，

；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

當(dāng)，即時， ，

；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

當(dāng)時，在上是減函數(shù)，

所以，故，

綜上得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

②對恒成立，即在上的值域是的子集，

當(dāng)時，，即，所以，

令，易得在上是增函數(shù)，

則，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

當(dāng)時，，即，所以，

令，易得在上是增函數(shù)，

則，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

當(dāng)時，，即，即，

所以，所以，綜上得．．．．．．．．．．．．．12分