Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a＞0，設(shè)g（x）=x²+x+

5

4

，若對(duì)任意x₁∈（0，+∞），總存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）＞g（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求a的取值范圍；
（Ⅱ）求出g（x）_min=1，?x₁∈（0，+∞），總x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，等價(jià)于f（x）＞g（x）_min，分離參數(shù)，求最值，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，則a＞

lnx

x

（x＞0），
令y=

lnx

x

（x＞0），則y′=

1-lnx

x2

，
∴（0，e）上，y′＞0，（e，+∞）上，y′＜0，
∴x=e時(shí)，函數(shù)取得最大值

1

e

，
∴a＞

1

e

；
（Ⅱ）g（x）=x²+x+

5

4

，∵x∈[-1，0]，∴g（x）_min=1
?x₁∈（0，+∞），總x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，
等價(jià)于f（x）＞g（x）_min，
∵f（x）=ax-lnx，∴ax-lnx＞1，?x∈（0，+∞）恒成立，
∴a＞

1+lnx

x

，
令h（x）=

1+lnx

x

，則h′（x）=

1-1-lnx

x2

∴0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，x＞1時(shí)，h′（x）＜0，
∴x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值1，
∴a＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最大值，正確分離參數(shù)，求最值是關(guān)鍵．