Question

對(duì)于函數(shù)y=f（x），存在區(qū)間[a，b]，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，y∈[ka，kb]（k＞0），則稱y=f（x）為k倍值函數(shù)．已知f（x）=e^x+x是k倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．

Answer 1

（e+1，+∞）
分析：f（x）=e^x+x的定義域是R，f（x）在定義域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)，由題設(shè)條件得k=，令g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)求的g（x）的極小值為：g（1）=1+e，由此能求出k的取值范圍．
解答：∵f（x）=e^x+x的定義域是R，f（x）在定義域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)，
∴有：f（a）=ka，f（b）=kb，
即：e^a+a=ka，e^b+b=kb，即a，b為方程e^x+x=kx的兩個(gè)不同根，
∴k=，
令g（x）=，則，
令=0，得極小值點(diǎn)x=1．
故g（x）的極小值為：g（1）=1+e，
當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→+∞，當(dāng)x→∞時(shí)，g（x）→1，
∴k＞1+e時(shí)，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，方程 k=有兩個(gè)解．
故所求的k的取值范圍為（e+1，+∞），
故答案為：（e+1，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．