Question

6．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=AB=2，點E是線段AB的中點，點M為線段D₁C上的動點．，
（Ⅰ）當點M是D₁C的中點時，求證直線BM∥平面D₁DE；
（Ⅱ）若點M是靠近C點的四等分點，求直線EM與平面D₁DE所成角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）以DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明直線BM∥平面D₁DE．
（Ⅱ）求出$\overrightarrow{EM}$和平面D₁DE的法向量，由此利用向量法能求出直線EM與平面D₁DE所成的角的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）以DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（1，2，0），E（1，1，0），
C（0，2，0），D₁（0，0，2），（1分）
∵點M是D₁C的中點，∴M（0，1，1），
$\overrightarrow{DE}=（1，1，0），\overrightarrow{D{D_1}}=（0，0，2）$
設平面D₁DE的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2z=0}\end{array}}\right.$$，取x=1，得\overrightarrow n=（1，-1，0）$，（4分）
∵$\overrightarrow{BM}$=（-1，-1，1），∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow n=0$，
∵BM?平面D₁DE，
∴直線BM∥平面D₁DE．（7分）
解：（Ⅱ）∵D₁（0，0，2），C（0，2，0），點M是靠近C點的四等分點，
∴由題有M（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），∴$\overrightarrow{EM}$=（-1，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
∵平面D₁DE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
∴$cos\left?{\overrightarrow{EM}，\overrightarrow n}\right＞=\frac{{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{EM}}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{-1-\frac{1}{2}}}{{\sqrt{2}•\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{n}$＞=150°，（10分）
∴直線EM與平面D₁DE所成的角為60°．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．