Question

（1）是否存在銳角α與β，使得（1），（2）同時成立．
若存在，求出α和β的值；若不存在，說明理由．
（2）已知tanα，tanβ是方程x²-3x-3=0的兩根，求sin²（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos²（α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把條件1的等號兩邊都除以2得到，兩邊取正切，利用兩角和的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，并把①代入得到②，然后把①和②聯(lián)立即可求出tan和tanβ的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出角，根據(jù)α與β是銳角進行檢驗得到滿足題意的α和β的值；
（2）因為tanα，tanβ是方程x²-3x-3=0的兩根，所以根據(jù)根與系數(shù)的關系求出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，然后利用兩角和正切函數(shù)公式求出tan（α+β）的值，把所求的式子提取cos²（α+β）=后得到關于tan（α+β）的關系式，把tan（α+β）的值代入即可求出值．
解答：解：（1）由得到，所以tan（）==tan=，
把①代入式子中得到：tan+tanβ=3-②，
把①②聯(lián)立求得：tan=1，tanβ=2-或tan=2-，tanβ=1；
由題知銳角α，當tan=1時，α=矛盾，所以舍去；
當tanβ=1時，因為β為銳角，所以β=，
根據(jù)得到α=．
（2）因為tanα，tanβ是方程x²-3x-3=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到：tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3
則tan（α+β）==，而原式=cos²（α+β）[tan²（α+β）-3tan（α+β）-3]
=[tan²（α+β）-3tan（α+β）-3]=[-3×-3]=-3．
點評：考查學生靈活運用兩角和與差的正切函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關系化簡求值，靈活運用韋達定理解決數(shù)學問題．是一道中檔題．