Question

已知y=f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，當x∈[0，+∞）時，f（x）=x²-2x．
（1）寫出函數(shù)y=f（x）的解析式：
（2）p：方程f（x）=a恰有1個解，q：函數(shù)g（x）=x²+lnx-ax在（0，1）內(nèi)有單調(diào)遞增，若命題p∧q是假命題，命題p∨q是真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：（1）當x∈（-∞，0）時，-x∈（0，+∞），根據(jù)條件和奇函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的表達式配方后畫出圖象，根據(jù)圖象求出p真命題時a的取值范圍，由求導(dǎo)公式g′（x），將q為真命題轉(zhuǎn)化成g′（x）≥0在（0，1）上恒成立，將a分離出來，利用基本不等式求出另一側(cè)的最值，即可求出所求a的范圍，再由復(fù)合命題的真假分類求解，再求并集即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當x∈（-∞，0）時，-x∈（0，+∞），
∵y=f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-（（-x）²-2（-x））=-x²-2x，
則f(x)=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

，
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，最小值為-1；
∴當x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-2x=1-（x+1）²，最大值為1．
∴據(jù)此可作出函數(shù)y=f（x）的圖象，根據(jù)圖象得，
p為真命題：若方程f（x）=a恰有1個不同的解，則a的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，∞）；
由g（x）=x²+lnx-ax得，g′(x)=2x+

1

x

-a，
當q為真命題時：函數(shù)g（x）=x²+lnx-ax在（0，1）內(nèi)有單調(diào)遞增，
則g′(x)=2x+

1

x

-a≥0在（0，1）恒成立，
即a≤2x+

1

x

恒成立，
∵x∈（0，1），∴2x+

1

x

≥

2

（當且僅當2x=

1

x

時取等號），則a≤

2

，
∵命題“p∨q”是真命題，“p∧q”是假命題，
∴命題p與q必然一真一假．
若p真q假，則

a＜-1或a＞1 a＞ 2

，得a＞

2

，
若p假q真，則

-1≤a≤1 a≤ 2

，得-1≤a≤1，
∴a的取值范圍是-1≤a≤1或a＞

2

．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，方程根的個數(shù)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題，復(fù)合命題的真假判斷，考查了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．