Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點．
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側面PAB內找一點N，使NE⊥面PAC，并求出N點到AB和AP的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設AC∩BD=O，連OE，將PB平移到OE，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角，在△AOE中，利用余弦定理求出此角的余弦值即可；
（Ⅱ）在面ABCD內過D作AC的垂線交AB于F，連PF，設N為PF的中點，連NE，則NE∥DF，根據(jù)線面垂直的判定定理可知DF⊥面PAC，從而NE⊥面PAC，則N點到AB的距離即為AP，N點到AP的距離即為AF．
解答：解：（Ⅰ）設AC∩BD=O，連OE，則OE∥PB，
∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角．
在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，
∴cosEOA==．
即AC與PB所成角的余弦值為．
（Ⅱ）在面ABCD內過D作AC的垂線交AB于F，則∠ADF=．
連PF，則在Rt△ADF中DF==，AF=ADtanADF=．
設N為PF的中點，連NE，則NE∥DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC．從而NE⊥面PAC．
∴N點到AB的距離=AP=1，N點到AP的距離=AF=．
點評：本題主要考查了異面直線的所成角，以及點到線的距離的計算，同時考查了空間想象能力、計算能力和推理能力，屬于中檔題．