Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為a₁=3，點（a_n，a_n+1）在直線3x-y=0（n∈N^*）上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求f'（1）的值，并化簡．
（Ⅲ）若c_n=log₃a_n³-2（n∈N^*），證明對任意的n∈N^*，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將（a_n，a_n+1）代入直線3x-y=0，得出易求數(shù)列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）利用導數(shù)運算及函數(shù)值求解，求得f′（1）=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，利用錯位相消求和法化簡計算．
（Ⅲ）所給的不等式是與自然數(shù)有關的命題，可以考慮用數(shù)學歸納法證明．
解答：解：（Ⅰ）由已知有3a_n-a_n+1=0，∴，
所以數(shù)列{a_n]為以3為公比，以a₁=3為首項的等比數(shù)列，
∴a_n=a₁3^n-1=3ⁿ．
（Ⅱ）f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ則
f′（x）=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+na_nx^n-1
∴f′（1）=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ   ①
∴3f′（1）=3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹    ②
①-②得-2f′（1）=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=-n•3ⁿ⁺¹
∴f′（1 ）=+=
（Ⅲ）證明：由已知c_n=3n-2，則 =，所以
=
下面用數(shù)學歸納法證明不等式
成立．
①當n=1時，左邊=2，右邊=，不等式成立．
②假設當n=k時不等式成立，即=成立．
則當n=k+1時，左邊
=
==
只要證＞成立即可
只需證    ＞3k+4成立，
只需證（3k+2）³＞（3k+4）（3k+1）²成立，
只需證27k³+54k²+36k+8＞27k³+54k²+27k+4成立，
只需證9k+4＞0成立，由于k為正整數(shù)，顯然成立．
所以當n=k+1時，不等式也成立．
由①，②可得不等式恒成立
點評：本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式，函數(shù)與導數(shù)的知識，以及錯位相消法數(shù)列求和、用數(shù)學歸納法、分析法證明不等式的數(shù)學方法．考查計算、論證能力．